ここで雇用保険に加入してしまうと、失業給付の受給資格を失うので、バイトは週20時間以内で探して働き始めたです

受給資格を失うので、

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雇用保険の基本手当(失業給付)を受けているを申し出ていないではありませんか
以前からのうつ病がひどくなり退職しようか悩んでいます
受給資格そのものはある可能性がありますが、再就職できる健康状態になるまでは出ません
あと一つ心配なが、社会保険の被保険者期間が10カ月しか無いです
>受給資格はあるでしょうか
その間、失業給付をもらい、短期の仕事についていました
離職理由と被保険者期間によります